Теоретическая и практическая ценность отдельных числовых множеств заключается в имеющихся пропорциях между их членами. Подобные математические закономерности ведут к синтезу новых множеств с другими полезными свойствами. Например, рассмотрим вопросы, связанные с суммами чисел Фибоначчи, а именно: методы их быстрого вычисления и практический смысл.
Последовательность Фибоначчи (далее Ф-П) исследуются профильными специалистами-математиками. Они и доказали их основные свойства, связанные, например, с различными суммами чисел Фибоначчи (далее Ф-чисел):
- Сумма первых чисел Фибоначчи до порядкового номера N включительно равняется Ф-числу под номером (N+2), но за вычетом единицы. Следовательно, например, если надо вычислить сумму первых 10 чисел Фибоначчи (т. е. с порядковыми номерами 1, …, 10), то требуется лишь знать, что Ф-число с номером 12 – это 89. Таким образом, сумма 10 первых Ф-членов составит 89–1=88.
- Сумма нечетных чисел Фибоначчи до номера N включительно равняется Ф-числу под номером 2*N, умноженному на 2. Аналогичная ситуация наблюдается и для суммы четных чисел Фибоначчи.
- Для вычисления квадрата члена Ф-П с номером N требуется сначала умножить число под номером N на число под номером (N+1), а затем отнять от полученного результата произведение Ф-члена под номером N на Ф-член под номером (N-1).
- Сумма квадратов чисел Фибоначчи до номера N включительно равняется произведению двух Ф-чисел с порядковыми номерами N, (N+1).
- Если вычислить произведение членов Ф-П с порядковыми номерами (N-1), M и произведение Ф-членов с номерами N, (M+1), то их сумма будет равняться Ф-числу под номером (N+M).
- Если вычислить квадрат члена Ф-П с номером N и квадрат Ф-члена под номером (N-2), то их разность будет равняться Ф-числу под номером (N-1).
- Если можно разделить номер одного члена Ф-П на номер другого Ф-члена, то и сами Ф-числа можно поделить друг на друга.
- Ф-числа, расположенные рядом с любым членом Ф-П, являются взаимно простыми.
- Номера четных членов Ф-П всегда кратны 3.
- Все члены Ф-П, кратные 3, имеют номера, кратные 4.
- Любой член Ф-П, кратный 4, имеет номер, кратный 6.
- Любой член Ф-П, имеющий номер, кратный 5, можно также сам поделить на 5.
- Любой член Ф-П, кратный 7, имеет номер, кратный 8.
- Любой член Ф-П, кратный 16, имеет номер, кратный 12.
Пример практического использования свойств суммы Фибоначчи
Посредством вычисления сумм последовательности Фибоначчи можно решить большое число геометрических, алгебраических, комбинаторных задач и так далее. К примеру, можно найти площадь геометрической фигуры, представленной на рисунке 2 и организованной по следующему пошаговому алгоритму:
- Шаг 1. К стороне одного квадрата прилегает второй равный по площади квадрат, то есть получается прямоугольник.
- Шаг 2. На одной из двух длинных сторон имеющегося прямоугольника образуется еще один квадрат.
- Шаг 3. Процедура, описанная на втором шаге, повторяется N-е число раз.
Площадь фигуры, построенной по указанному пошаговому алгоритму, равняется произведению членов Ф-П с порядковыми номерами N и (N+1). Следует отметить, что площадь можно вычислить также и через сумму Ф-членов по специальному пошаговому алгоритму:
- Шаг 1. Член Ф-П под номером N суммируется (N+1) раз с Ф-членом под номером N.
- Шаг 2. Член Ф-П под номером (N+1) суммируется N раз с Ф-членом под номером (N+1).
